接骨院と整骨院の違いって？

一言で言ってしまいますと、違いはありません。
どちらも同じ、「柔道整復師」という国家資格の免許を持った先生が開院した施設です。
開院して屋号を決める際に「○○接骨院」「○○整骨院」「○○ほねつぎ」の３つは柔道整復師が法規上使える屋号で、
「○○医院」「○○クリニック」などは医師の診療所を連想させるため、医師でない限りは使えません。
従って「○○接骨クリニック」などは柔道整復師の資格では使えない屋号で法規違反になります。

では整体院ってなに？

これは患者さんからもよく聞かれますが、
「整体院」と「整骨院」は違います。現在日本に於いて「整体」や「カイロプラクティック」を行う医療系国家資格はありません。従ってある意味、無経験・無資格の素人でも「整体院」の看板をだして開院できてしまいます。
当然保険証を使っての施術は受けられません。すべて自費となります。
「カイロプラクティック」はアメリカでは医療系資格の一つですが、日本では民間資格に過ぎず、厚労省ではカイロの手技で頸部(首)を急激に捻る手技を「患者の身体に損傷を加える危険が大きい」として、禁止しています。(厚労省HP 参考資料)

まとめますと、
接骨院＝整骨院≠整体院
接骨院＆整骨院　（国家資格で保険取り扱い可）
整体院　　　　　（民間資格で自費のみ取り扱い）

となります。しかし整体院にもいわゆる「腕利き」の先生はいらっしゃいます。
ご自分の体を預ける訳ですから、接骨院でも整体院でも、事前の情報収集をしっかり行った上で判断して頂きたいと思います。